二つに切っても相似形 - コールスロー

A版やB版の用紙を長辺の中央で半分に切ると、もとの用紙と相似形の紙が二枚できる。これは縦横比が $\sqrt2$ となっているためである。なぜ $\sqrt2$ なのか。数式をたてて解いてみよう。おれはヒマなのか。ヒマなんだろうな。
長辺を $l$ 、短辺を $s$ とする。これをふたつに切ると、あたらしい長辺は $s$ 、短辺は $l\over2$ である。これはもとの紙と相似形になるため、

$l:s=s:{l\over2}$

内項の積と外項の積はひとしいから(なつかしいでしょ)、

$s^2={l^2\over2}$

さらに変形して、

$s=\sqrt{l^2\over2}$
$l=\sqrt2s$

なるほど。半分に切るともとの形の相似形となる長方形は縦横比が $\sqrt2$ の場合だけだ。
この式を見ていると、比が $\sqrt2$ である理由もわかる。二等分するからである。
平方根のなかの $2$ を任意の自然数 $n$ におきかえれば、「長辺を $n$ 等分すれば $n$ 枚の相似形ができる」長方形の縦横比は $\sqrt{n}$ となる。
もし宇宙のどこかに三等分にご執心の文明があれば、そこで使われる用紙の縦横比は $\sqrt3$ であるにちがいない。

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ルミネのルミ姉。